数学技巧#

#每小时最大化领导力

• 你每小时可以获得多少领导力的限制取决于小猫到达的速度，以及你可以在游戏中建造的房屋数量，同时仍能跟上小猫的到来。

小猫每秒 = 0.01 * 5 [基础小猫每秒出生速度]
* （1 + 玄学加成）
* 节日加成

玄学加成 =75% [维伦多尔夫的喵纳斯] +150%[异教仪式] 节日加成 = 2（自带的双倍）
+ 狂欢节（30%）
+ 酿酒厂加成酿酒厂加成 = 酿酒厂的数量 * 节日增加比率

酿酒厂的节日增加比率 = 0.1%

比例较小，如果有 30 酿酒厂，它只会相对地提高 1.3% 的小猫出生速度
显然没举办节日，节日加成 = 1

• 重置的最优解：当你当前猫口 = 猫口上限 立刻重置，即跟上到来的小猫速度，那么效率将是 100%。（你每小时会得到大约 1400+ 领导力。）

• 猫口数量效率效率： $\frac{\text{小猫}-70}{\text{小猫}} \Leftrightarrow 1-\frac{70}{\text{小猫}}$

• 1000 只小猫，你将以 93% 的渐近完美效率运行。

• 500 只小猫重置和 1000 只小猫重置之间的差异为 7%。（种田就嗯扣）

假设有很多小猫，通过微积分，你重置的每只额外小猫（k）的效率变化为 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k} \left(1-\frac{70 }{k} \right ) =\frac{70}{k^{2} }$

即 500 只小猫和 501 只小猫之间的效率差异是 $\frac{70}{500^{2}}$= 0.03%。

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#难得素相关

#难得素产量公式

难得素产量 = 月球前哨
*（1 + 75%）[微型亚空间反应装置]
*（1 + 15%）[新古典宇宙自由主义]
*（1 + 0.1 * 悲伤%）[死灵统治]
*（1 + 50%）[光阴似箭]
*（1 + 空间生产加成）
* 周期系数

如果未研究灵数哲学，那么周期系数 = 1。

卡戎 周期，难得素产量会 -10%
红月 周期，难得素产量则 +20%

此外，如果研究了数理占卜，

你会在 红月 周期中提高 100% 的难得素产量，你拥有的每个酿酒厂都会增加 1%。
红月 周期中是最有意义的，红月 周期总是从 25 年开始，持续五年（66.67 分钟）

酿酒厂加成 = （1 + 1% * 酿酒厂数量）

周期节日加成 = 2 * 酿酒厂加成（红月的节日周期效果）
即如果处于 红月 周期且举办了节日：

周期系数 = 周期加成 * 周期节日加成

空间建筑加成 = （1 + 1% * 太空电梯的数量 + 2% * 轨道阵列的数量）

工厂加成（工艺制作效率）= 5%
工厂物流加成= 1%
全面工业化加成 = 1 + 5%

太空制造 = 1 +（工厂加成 + 工厂物流加成）* 全面工业化加成 * 工厂的数量 * 0.75

空间生产加成 =（空间建筑加成 * 太空制造）- 1

注意：跟随游戏显示的 空间生产加成 从 0 开始计算

#难得素发展路线

• 烧水晶直到热度接近上限 ⇒ 等待冷却低于热上限 ⇒ 再燃烧直到第 25 年。没有任何时计炉，也就是 500 秒（8 分 20 秒）
• 如果你已经完成了千禧年的挑战，直接燃烧到 25 年，会比上述操作多花费 0.6 时间水晶。（能省出大量等待时间）
• 或者如果你有特别多时间水晶比如 1M，没千禧年挑战直接进入 25 年也是值得的。
• 选择政策全面工业化。
• 点出超导体，然后点出太空制造。
• 到达沙丘，选择新古典月球主义政策。
• 如果你有多余的难得素，和利维坦交易一次并选择政策死灵统治。（单从难得素方面）
• 难得素 > $\frac{5000 \times 1000}{\text{悲伤} }$
• 研究戏剧与诗歌，并举办节日，点出狂欢节政策以加快猫猫到来速度。
• 直接跳到 25 年。（红月周期）

#避免问题

• 如果你使用足够的 传送仪 和 通量冷凝器升级 后进行重置，所有以下的这些都可以避免。
• 如果你使用脚本，请确保在启用脚本之前完成此操作。
• 太阳革命要点：
  • 共花费 2.2K 科学解锁建筑。
  • 建造前 20 座木屋（推迟购买大量小屋，直到你至少得到铁木小屋和混凝土小屋）节省木材
  • 45 份手稿（或必要的文化）来解锁神学（35 份手稿）和 神殿（10 份手稿）
  • 750 信仰和 500 黄金来解锁太阳革命
• 节日之前的要点：
  • 70 建筑和声学概要
  • 7500 羊皮纸研究戏剧和诗歌并举办一个节日（使小猫到达的速度加倍）。
  • 你可能需要在第一个之后举办 2 个以上的节日，因为每个节日持续 1 年，只有 800 实时秒（13 分 20 秒）
  • 500 星图和 250 钛用于测地学工坊升级（通过与斑马的大规模交易消除钛的获得问题）
• 太空之前的要点：
  • 研究 天文学、导航学 共需要 165 手稿
  • 研究 物理学、电学 共需要 120 概要
  • 研究工业化、机械化、电子学、火箭学共需要 265 蓝图。
• 探索碧池星要点：（2350 个星图）
  • 冲出轨道250，
  • 探索月球500，
  • 探索碧池星1500，
  • 科研船100
• 50 E 合金 用于微型亚空间反应装置（高等太空地质学）

#预重置清单

• 假设你的 悲伤已满，你已经牺牲了你所有的 天角兽。
• 猫口建筑尽量造到上限
• 关闭任何可能会意外自动赞美的自动脚本，或制作所有羊皮纸等...
• 购买通量冷凝器（5000 难得素）
• 如有必要可以出售不用的建筑物（50% 的价格）
• 制作足够的工艺制作资源（以下假设为只一个传送仪需要。如果你有 n 个传送仪，将它们减少 n^2）

• 出售所有轨道阵列和太空电梯
• 购买传送仪（请参考上面列出的最佳数量）

#如何确定轨道阵列和太空电梯是否值得

• 还有两个空间建筑可以提高成本 难得素 的 产量：

• 太空电梯（+1%，50 难得素，1.15 价格指数）

• 轨道阵列（+2%，100 E 合金，1.15 价格指数）

• 显然线性收益会存在收益递减。

• 根据列出的难得素产量公式[难得素产量公式]

• 你有 a 个 太空电梯，并准备造 a + 1 个太空电梯时，

难得素消耗： ${ 50 \times 1.15^{ n-1 }}$
难得素 产量增加：$\frac{1+0.01\left (a+1 \right ) +0.02b}{100+0.01a +0.02b}$

• 你有 b 个 轨道阵列，并准备造 b + 1 个轨道阵列时，

E 合金消耗： ${ 100 \times 1.15^{ n-1 }}$
难得素 产量增加 $\frac{1+0.01a +0.02\left (b+1 \right )}{100+0.01a +0.02b}$

• 在你重置之前，你可以以一半的成本卖回这些建筑，所以真正的使用难得素只有用掉的一半。

#微型亚空间反应装置

• 显而易见的投资成本回收时间公式：

每秒难得素产量 U
工艺制作效率 $\gamma$

$\text{投资成本回收（秒）} = \frac{0.75U}{1000} \times \left ( 1+\gamma \right )$

可以根据自己的计算，大部分只要难得素产量 * 工艺制作效率 ＞ 100，即 10 分钟以内就可以回本，非常推荐升级。

#太空电梯

OF = 工厂的数量 * 月球前哨的数量

• 太空电梯每分钟为你带来 $\frac{OF}{176}$ 难得素。（如果没有微型亚空间反应装置，请使用 304 替换 176）

$\frac{OF \times \text{分钟}}{176} > \frac{\text{太空电梯}_{n+1} }{2}$

• 大于 就推荐造太空电梯（因为重置前可以出售太空电梯，所以只要难得素的一半）

• 示例 1：你有 150 个工厂、25 个月球前哨 和 微型亚空间反应装置。

OF = 150 * 25 = 3750。进行了 10 分钟，还有 20 分钟。
$\frac{20 \times 3750}{176} = 426$
你有 18 级太空电梯，所以下一级的价格为 618.7 难得素。
618.7 的一半是 309（重置前可以出售获得难得素）426 > 618.7 * 0.5，即推荐建造 19 级太空电梯。

#轨道阵列

OF = 工厂的数量 * 月球前哨的数量
工艺制作效率 = $\gamma$

• 因为 E 合金的获得 需要考虑工艺制作效率
• 当制作 E 合金 时，你消耗 1000 难得素，并获得 1 + $\gamma$ 的 E 合金。
• 所以购买 n 轨道阵列需要的难得素 是 100 * 1.15 ^ (n - 1) * 1000 / (1 +$\gamma$ )。
• 轨道阵列每分钟为你带来 (2 * OF / 176) 难得素。
• 计算重置前的分钟数
• (2 * OF * 分钟数 / 176)，看看是否大于 (下一级太空电梯的成本) * 1000 / (1 +$\gamma$ )
• 如果大于，那就建吧。

示例 2：你有 130 家工厂，20 个月球前哨。
OF = 2600。比如剩余 25 分钟。
2 * 25 * 2600 / 176 = 738 难得素。
你有 0 个轨道阵列，因此第一个轨道阵列的成本为 100 E 合金。
你的制作比率为 17.50（+1650% 制作效率），这意味着它将花费 100 * 1000 / 17.50 = 5714 难得素。
即轨道阵列没有任何有用价值（花费 5714 难得素 获得 738 难得素）。
轨道阵列只能在持续时间超过半小时（甚至一个小时）的周目中使用。

#E 合金小屋值得吗？

• 升级 E 合金小屋 需要 125 E 合金。
• 小屋基础价格指数为 2.5
• 工坊升级：铁木小屋降低 50%，用混凝土小屋降低 30%，用 难得素小屋降低 25%，用 E 合金小屋 降低 10%，
• 玄学：所以有减价玄学升级共降低 8.6458%。

E 合金小屋之前，价格指数为 $r\_{\text{难得素}} = 1.36388$
E 合金小屋之后，价格指数为 $r\_{E\text{合金}} = 1.28908$

可以参考价格指数

E 合金小屋之前，最大木材约为 $5 \times r\_{\text{难得素}}^{n\_{1} }$
E 合金小屋之后，最大木材约为 $5 \times r\_{E\text{合金}}^{n\_{2} }$

通过计算易得：
$n\_{2} = n\_{1} \frac{\ln\_{}{r\_{\text{难得素}} } }{\ln\_{}{r\_{E\text{合金}} }} =1.231n\_{1}$

• 有了 E 合金小屋，达到小猫上限所需的时间会更长一些
• 例如，如果你在 E 合金小屋之前有 50 个小屋，那么之后你可以获得 61 个小屋，增加了 22 个猫，则需要额外的 67 秒
• 如果你在没有 E 合金小屋的情况下最多获得 500 只小猫，而你可以在有 E 合金小屋的情况下获得 522 只小猫，那么你的 领导力 每小时效率将从 86% 升至 86.6%。

值得，但一般

😅

#我应该在重置之前将难得素转换为 E 合金 吗？

n = 传送仪的数量

• 注意到如果重置前你出售了轨道阵列，得到的也可以算入下周目的 E 合金。
• 你在重置时得到 $1.5n \sqrt{E\text{合金}}$
• 50 E 合金以便在下周目立即获得微型亚空间反应装置。

显而易见的结果:$\frac{1111}{\text{传送仪的数量}^{2} }$

• 因此，如果你选择 1 传送仪，则需要 1111 E 合金 才能立即购买微型亚空间反应装置。
• 3 传送仪，需要 124 E 合金，比建造两个轨道阵列然后卖回来多一点
• 5 传送仪，需要 44 E 合金，这是你从建造后重置后在卖一个轨道阵列

重置前制作，还是重置后制作？

$\gamma\_{b}=\text{重置前的制作工艺效率} + 1$
$\gamma\_{a}=\text{重置后的制作工艺效率} + 1$
重置前制作：E 合金 = $1.5n \sqrt{ \frac{\text{难得素} \times \gamma\_{a}}{1000}}$
重置后制作：E 合金 = $1.5n \sqrt{ \frac{\text{难得素} \times \gamma\_{b}}{1000}}$

临界点问题表明，除非你将大量的 难得素 制作成 E 合金，否则在重置之前进行制作比在重置之后更有效。
当你拥有比以下表达式更多的 难得素 时，等待重置后才更有意义：

$\text{难得素数量} = \frac{1\times 10^{6} \times \gamma\_{b}}{\gamma\_{a}^{2} }$

• 比如你重置前的制作工艺效率是 2000%，重置后的制作比例是 1000%，那么你需要打算制作超过 2M 难得素 后，超过的部分在重置后制作 E 合金才值得。
• 换句话说：只要没超过 2M 难得素，E 合金都应该在上周目把难得素全部合成 而不是留下难得素在这周目合成。（具体看工艺效率）
• 每周目合成的 E 合金都是为了下周目

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#给定数量 难得素 最佳传送仪

• 游戏后期想要携带大量资源，需要大量的传送仪，需要大量的难得素。
• 所以我们不妨假设你刚完成长挂并开始做一系列的短挂，你只建造房屋，建造一些传送仪，然后重置。
• 达到最大传送仪，并且你发现自己以 10.29 M 难得素 重新开始游戏。
• 只建一个传送仪，则剩下 10.28 M 难得素，意味着你可以携带 1.5% 的 难得素，也就是下轮有 154k 难得素。
• 建最多数量的传送仪，那么你会建筑 43 个传送仪并剩下 3.5k，而当你重置时，你下轮只有 2.2k 难得素。
• 那么就需要在投资足够的 难得素 以 获得足够高的重置百分比 中找到正确的平衡。

e = 自然常数(2.71828)
U = 建造传送仪之前难得素数量
n = 你需要建筑的传送仪数量
R = 重置后获得的难得素
r = 传送仪的价格指数
具有所有价格比率玄学的传送仪的价格比率为 r = 1.163541882。[可以参考 价格指数]

通过等比数列求和公式获得传送仪的难得素总价格：

$S\_{n}=a\_{1}\cdot \frac{1-r^{n} }{1-r}$

重置后的难得素 = 0.015 * 传送仪数量 * (重置前的难得素 - 传送仪的难得素价格)

$R= 0.015 n \left(U-S\_{n}\right) =$
$0.015 n \cdot\left(U-2500 \times \frac{1-r^{n}}{1-r}\right)$

通过求导：

$\frac{\partial}{\partial n}\left( 0.015 n\cdot \left(U-\frac{2500\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\right)\right)=$
$0.015 \left(U-\frac{2500 \left(1-r^n\right)}{1-r}\right)+\frac{37.5 n r^n \ln (r)}{1-r}$

当 上述导函数 = 0 时，判断该函数的符号，显然左正右负。
即 上述导函数 = 0 时，是重置后获得的难得素（R）函数的极大值。

那么第 n 个传送仪 和 重置之前难得素 量关系式：

$U=2500 \frac{1-r^{ n }-nr^{r} \ln\_{}{r}}{1-r}$

即 n = 1 U= 5.2K

请注意，驻点位于半整数处

• n = 1.5 U = 8.3K（2 个 传送仪 的推荐最少难得素的值）
• n = 0.5 U = 2.5K（1 个 传送仪 的推荐最少难得素的值）

或者可以使用计算机暴力求解：其中 $\omega$是朗伯 W 函数，
$\frac{\omega ( \frac{e \ast (r - 1) \ast U}{2500} + e) - 1)}{\ln\_{}{r} }$
由于是超越方程，只能近似地数值求解，可以使用牛顿迭代法 (Newton's method) 求其近似值。
$z=\omega e^{\omega }$
$\omega\_{j+1}=\omega\_{j}-\frac{\omega\_{j} e^{\omega\_{j}}-z}{e^{\omega\_{j}}+\omega\_{j} e^{\omega\_{j}}}$
因为求的值为传送仪的数量，那就不能有小数，所以需要四舍五入。
请注意，升级 通量冷凝器 或其他需要 难得素（E 合金）的升级，那么 U 的值为购买升级后剩余的 难得素 数量

#参考表如下所示

• 首个投资回报率超过 100% 的 位于 73 传送仪处。
• 然后需要算出 第一次重置的 难得素上限 需要多少。

不妨假设 n = 传送仪 的数量 $u\_{max}$ = 难得素 上限

n = 72 U = 10.8G 即重置为 10.8G 难得素 的条件是满足方程：

$1.088 \times 10^{10} =0.015 n u\_{max}$

解方程得：n = 98，即需要 7.41G 的难得素上限

n = 73 U = 11.7G

$1.168 \times 10^{10} =0.015 n u\_{max}$

解方程得：n = 99，即需要 7.86G 的难得素上限

• 7.41G 难得素 和 98 个传送仪（最低要求）
• 7.86G 难得素 和 99 个传送仪（推荐这个）

1. 攒 7.86G 难得素 和 99 个传送仪

2. 那么重置后的难得素数量是 11.7G
3. 73 传送仪重置（得到难得素 会大于 消耗的难得素）
4. 循环 73 传送仪重置，难得素 以指数增长

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#无限流循环重置的最佳时间水晶

• 好吧，所以我假设你有 500K+ 的领导力，建造了一堆黑洞视界，并且非常努力地建造了 98 个传送仪并在 当前难得素 达到上限。
• 恭喜，你现在有足够的 难得素 可以无限流重置，而不必再用月球前哨生产 难得素了。
• 根据上面算出来的，你只需获得足够的蓝图和科学来建造 73(+) 个传送仪，然后重置，你的资源将会呈指数增长。
• 下一个问题是使用时间水晶建造的最佳传送仪数量是多少，因为时间水晶并不能每周目快速获得的资源之一。
• 那必然会有传送仪需要的 时间水晶 指数增长成本 赶上传送仪数量携带资源的线性增长。
• 67 个 传送仪，你可以以 156.2k 时间水晶为代价获得 100.5% 的资源。
  • 156.2k 时间水晶的成本，0.5% 的增长，即 3.2%/1M 时间水晶。
• 68 个 传送仪，
  • 181.8k 时间水晶的成本，2% 的增长，即 11%/1M 时间水晶。
• 交叉点也是在 73 个 传送仪 处，
  • 387.6k 时间水晶 增长 9.5%，即 24.53%/1M 时间水晶。
• 74 个 传送仪，
  • 451.1K 时间水晶的成本，11% 的增长，即 24.39%/1M 时间水晶。
• 73 传送仪 也是在 难得素 和其他资源上能产生增长 传送仪 数量。
• Bloodrizer 作者 是故意这样做的，还是她正好幸运了，但 73 是 时间水晶 效率和 难得素 收支平衡的神奇数字。
• 使用 73 个 传送仪 重置，每 8 次重置将获得资源翻倍，总共 3.1M 时间水晶。
• 使用 94 个 传送仪 重置，每 2 次重置将获得资源翻倍，总共 18.6M 时间水晶。

#获取时间水晶

• 到目前为止，在游戏后期获得时间水晶的最快方法是通过与利维坦的交易（大约比积累天角兽一般来讲效率至少 30 倍）。

• 为此，你希望获得尽可能高的基础 难得素 产量。[难得素产量公式]

• 总之：

• 最大月球前哨

• 最大空间电梯

• 最大工厂

• 最大酿酒厂

• 最大悲伤

• 工厂物流升级

• 全面工业化政策（需要 露天采矿 或 皆伐）

• 新古典月球主义政策

• 花一些时间制作许多轨道阵列（上面介绍了确定多少“足够”的指南，注意燃烧的时间会使效时间乘以很多）

• 确保你的节日不间断

• 注意：烧水晶获得资源不会获得光阴似箭的加成

• 接下来，你希望最大化每笔交易获得的时间水晶数量。

• 为此 最大利维坦能量（每个能量 +2%）

• 有死灵兽可用时就喂给利维坦；神印、黑之光辉和额外的黑暗天空挑战有助于加快速度。

• 独角兽大墓地也加快了这个速度，但它们本身会消耗死灵，而你需要保留至少 1 个死灵才能让它们工作。

• 独角兽大墓地31 个以后，推荐能量满了再造大墓地。

• 每个资源回复能获得 1% 的年产量（默认春天第一天燃烧时间水晶）

• 默认以完成千禧年挑战。

贸易所得 = 0.015 * 交易所数量 + 商人领袖的效果 [具体参考这个 收益递减]

就是贸易标签栏显示的贸易所得

基础值 = 0.25 * 98% =0.245
利维坦加成 = 1 + 0.02 * 利维坦能量

注意 和平主义的加成 和 政策获得加成 都不显示在贸易标签里的贸易所得

政策加成 = 自由贸易（15%） + 斑马外交：剑拔弩张（7.5 %）+ 外层空间条约（15 %）

自由贸易 和 外层空间条约 是相当于多 10 个 交易所，斑马外交：剑拔弩张是对于利维坦 相当于多 5 个交易所，但都不会获得和平主义的加成

和平主义加成 = 交易所数量 * （0.099% + 和平主义成功挑战次数 * 0.025%）
$\tau$ = 每次与利维坦贸易时间水晶的期望值

$\tau$ = 0.245 * 利维坦加成 *（1 + 贸易所得 + 政策加成 + 和平主义加成）

$u$ =难得素产量（每秒）
$\lambda$ = 耀变体数量

$\ell$ = 1 个资源回复下 跳 1 年 的期望收入

$\ell = (1 + 0.02\lambda ) \cdot \frac{800\tau u }{5000 \times 100}$

$\alpha$ = 资源回复的数量
$S\_{\alpha}$ = 资源回复的时间水晶总和

$S\_{\alpha}=1000\times \frac{1-1.3^{\alpha} }{1-1.3}$

$\beta$ = 时计炉的数量
$h$ = 实际时间
每烧水晶次数 = $72\left ( 0.05+\beta \right )$
$S\_{\beta}$ = 时计炉的时间水晶总和：

$S\_{\beta}=25\times \frac{1-1.25^{\alpha} }{1-1.25}$

TC = 每次燃烧时间水晶的成本
$p$ = 净利润
总成本 = $S\_{\alpha} + S\_{\beta}$
烧水晶的贸易收入（概览） = $\alpha\ell$

$p$ = 总烧水晶次数 * (烧水晶的贸易收入 - 烧水晶价格) -总成本
$= 72h(\beta + 0.5)\cdot (\alpha\ell - TC) -S\_{\alpha} - S\_{\beta}$

• 因为天角兽的占比很小，所以忽略了 天角兽。
• 该攻略里忽略里了 时计炉的自动化。
• 概览里都算入其中
• 你可以使用表格来最大化利润，或者根据自己的游戏经验。
• 概览的时间水晶贸易收入 等于 时间水晶 收入 * 最佳资源回复 即 $\ell \ast \alpha$
• 注意下列表格所有值是你达到对应的最佳资源回复数量后的利润，不是你从 0 ~11 的过程中的利润。
• 第一次长挂中期收入大部分小伙伴会稳定在1~1.5之间：
• 具体建筑多少个看你喜欢，只要资源回复 1119，时计炉 2536 中就行。
• 因为有收入、小时、时计炉、资源回复，变量实在多参考下性价比就行。
• 大约公式：时计炉 = 1.2735 * 资源回复数量 + 11.393

#次元超越

#推荐顿悟值推导

次元超越前的赞美太阳加成 / 次元超越后的赞美太阳加成 = 次元超越前的加成 / 次元超后的加成

次元超越消耗顿悟的比例等于提升赞美群星加成的效率显而易得：
$\frac{\text{虔诚}\times 1.01 \times \text{赞美太阳加成}}{\text{虔诚}\times 1.01\times\text{次元超越后的赞美太阳加成}} = \text{次元超越提升的效率}$

y =顿悟，k = 次元超越提升的效率 ,x =次元超越消耗的顿悟
化简，以及代入顿悟转赞美太阳加成公式

$\Rightarrow \frac{100+\sqrt{25+2000 y}-5}{100+\sqrt{25+2000(y-x)}-5} =k$

开始化简成我们需要的 y= 形式
等式两边同时乘${ \frac{\sqrt{25+2000(y-x)}+95}{5}}$

$\Rightarrow \sqrt{80 y+1}+19=k(\sqrt{80 y-80 x+1}+19)$

等式两边同时减 19 后，两边同时平方

$\Rightarrow \sqrt{80 y+1}=k(\sqrt{80 y-80 x+1}+19)-19$
$\Rightarrow 80 y+1=(k(\sqrt{80 y-80 x+1}+19)-19)^{2}$

等式两边同时减去 ${k(\sqrt{80 y-80 x+1}+19)-19)^{2}}$

$\Rightarrow 1+80 y-(k(\sqrt{80 y-80 x+1}+19)-19)^{2}=0$

拆开并化简

$\Rightarrow-360+722 k-362 k^{2}+80 k^{2} x+80 y-80 k^{2} y+\left(-38 k^{2}+38 k\right) \sqrt{80 y-80 x+1}=0$

设${z=\sqrt{80 y-80 x+1}}$，

$\Rightarrow-361+722 k-361 k^{2}+80 x+z\left(-38 k^{2}+38 k\right)+z^{2}\left(-k^{2}+1\right)=0$

等式两边同时除以 ${-k^{2}+1}$

$\Rightarrow\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}+\frac{z\left(-38 k^{2}+38 k\right)}{-k^{2}+1}+z^{2}=0$

等式两边同时减去${\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}}$

$\Rightarrow \frac{z\left(-38 k^{2}+38 k\right)}{-k^{2}+1}+z^{2}=-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}$

等式两边同时加${ \frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}} }$

$\Rightarrow\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}+\frac{z\left(-38 k^{2}+38 k\right)}{-k^{2}+1}+z^{2}=\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}$

注意到等式左边是完全平方式

$\Rightarrow\left(\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}+z\right)^{2}=\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}$

两边同时开根号，解出来有 2 个根，等式两边同时减去${\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}}$

\( \begin{array}{c} z_{1} =\sqrt{\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}}-\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}\\ z_{2}=-\sqrt{\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}}-\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}\\ \end{array} \)

即我们需要个最小顿悟值，注意到${z^{2} =80 y-80 x+1}$，${\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}>0}$，故舍去负数 + 负数的${z\_{2}}$
将${z=\sqrt{80 y-80 x+1}}$带入${z\_{1}}$

$\Rightarrow\sqrt{80 y-80 x+1}=-\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}+\sqrt{\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}}$

等式两边同时平方后，再同时加${80x}$，再同时除以${80}$

$\Rightarrow y=-\frac{1}{80}+x+\frac{1}{80}\left(\sqrt{\frac{\left(-38 k^{2}+38 k\right)^{2}}{4\left(-k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{80 x-361 k^{2}+722 k-361}{-k^{2}+1}}-\frac{-38 k^{2}+38 k}{2\left(-k^{2}+1\right)}\right)^{2}$

k 和 x 都可以用次元超越等级表示，设 t = 次元超越等级。

${\small\Rightarrow y=-\frac{1}{80}+\frac{(e-1) e^{t}\left(e^{t}(1+e)+10\right)}{2000}+\frac{1}{80}\left(\sqrt{\frac{\left(-38 \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{4 }+38 \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{2}\right)^{2}}{4\left(- \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{4 }+1\right)^{2}}-\frac{80 \frac{(e-1) e^{t}\left(e^{t}(1+e)+10\right)}{2000}-361 \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{4 }+722 \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{2}-361}{- \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{4 }+1}}-\frac{-38 \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{4 }+38 \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{2}}{2\left(- \left ( \frac{ t+2 }{t+1} \right ) ^{4 }+1\right)}\right)^{2}}$

珂学家和概览也是使用该公式。